04. Transformator głośnikowy w dziedzinie liczb zespolonych

4. Transformator głośnikowy w dziedzinie liczb zespolonych

   W tym rozdziale przedstawione jest omówienie charakterystyki fazowej i różnicowej charakterystyki fazowej, które w formie wykresów zamieszczone są na kartach katalogowych transformatorów. Wyjaśnione zostanie pojęcie dziedziny zespolonej oraz modułu, części rzeczywistej i części zespolonej funkcji przejścia (funkcji przenoszenia/transmitancji).

4.1 Obliczenia w dziedzinie liczb zespolonych

   Przedstawione rozważania związane z parametrami transformatorów skupiają się nie tylko na tym jaki poziom głośności można wytworzyć stosując dany transformator we wzmacniaczu i w jakim zakresie częstotliwości ale również z jakimi opóźnieniami sygnału mamy do czynienia. Pierwsze dwa czynniki powiązane są ze wzmocnieniem, podczas gdy ostatni zależy od charakterystyki fazowej transformatora i wzmacniacza.

   Dlaczego należy zająć się tym trudnym tematem? Czy nie byłoby łatwiej po prostu usiąść i posłuchać muzyki lub pograć na gitarze? A może jeszcze lepiej pożeglować i poopalać się w ciepełku.


Rys.4.1 Autor książki na południu Francji przygotowuje się do lotu ultralekkim samolotem


Rys.4.2 Sesja jazzowa w ogrodzie

Obydwie propozycje są bardzo nęcące ale musimy stawić czoła brutalnej rzeczywistości i skoncentrować uwagę na pewnych charakterystykach wzmacniacza, które mogą prowadzić do bardzo nieprzyjemnych efektów.

   Gdy wzmacniamy sygnał, powinniśmy zwracać uwagę nie tylko na jego poziom ale brać pod uwagę inny parametr. Jest nim opóźnienie jakiemu ten sygnał podlega. To co będziemy teraz robić to szukać modelu, który wyrazi to opóźnienie. Aby zilustrować opóźnienie posłużmy się przykładem. Na Rys.4.3 pokazany jest układ testowy składający się z cewki L podłączonej do zasilacza poprzez szeregową rezystancję R.


Rys.4.3 Prosty układ do obliczeń w dziedzinie liczb zespolonych

Przypuśćmy, że wstępnie napięcie na wyjściu zasilacza jest równe 0V i nagle zmienia swą wartość na 10V. Co się będzie działo? Prąd zacznie płynąć natychmiast przez cewkę i ta w odpowiedzi zacznie wytwarzać pole magnetyczne. Reguła Lenza stanowi, że zmieniające się pole magnetyczne w cewce wytwarza prąd indukcyjny. Inaczej mówiąc musimy brać pod uwagę nie tylko prąd pochodzący z zasilacza, ale i prąd indukcyjny (pomyślcie o dynamie w rowerze). Prąd indukcyjny zawsze działa przeciwko prądowi, który go wytworzył, czyli prądowi z zasilacza. Oznacza to, że pełen prąd z zasilacza nie popłynie od razu przez cewkę; zamiast tego będzie on pomału rosnąć. Jednym ze sposobów opisania tego zjawiska jest stwierdzenie, że prąd jest opóźniony o osiągnie wartość maksymalną dopiero po jakimś czasie. Podobny efekt możemy zaobserwować w przypadku kondensatora, z wyjątkiem tego, że w kondensatorze to napięcie jest opóźnione podczas gdy prąd natychmiast osiąga wartość maksymalną.

   Powyższe przykłady pokazują, że za pomocą cewki lub kondensatora można wprowadzić opóźnienie prądu lub napięcia w czasie. A co z indukcyjnościami i pojemnościami w transformatorach?  Oczywiście wszystkie one mają wpływ na zachowanie się transformatora w czasie. Badanie tego typu zjawisk jest możliwe jeśli zastosujemy ich analizę matematyczną w dziedzinie liczb zespolonych lub w skrócie w dziedzinie zespolonej.

   Domenę liczb zespolonych obrazuje Rys.4.4, który można wykorzystać do definicji opóźnienia w czasie.


Rys.4.4 Wektory na płaszczyźnie liczb zespolonych

Mamy tu dwie osie współrzędnych. Oś pozioma (Re) zwana jest osią rzeczywistą, zaś oś pionowa (Im) osią urojoną. Na rysunku pokazano również dwie strzałki zwane wektorami. Nie wchodząc w zbytnie szczegóły, będziemy się stosować następujących definicji:

  • Długość wektora jest proporcjonalna do wielkości wzmocnienia.
  • Kąt nachylenia wektora jest proporcjonalny do wielkości opóźnienia (lub wyprzedzenia) wyjściowego prądu lub napięcia w stosunku do sygnału wejściowego. Kąt dodatni (wektor skierowany w górę w stosunku do osi rzeczywistej) oznacza, że sygnał wyjściowy jest sygnałem wyprzedzającym, zaś kąt ujemny (wektor skierowany w dół w stosunku do osi rzeczywistej) oznacza, że sygnał wyjściowy jest opóźniony.

Teraz na prostym przykładzie możemy pokazywać dwa różne przypadki: wartość wzmocnienia oraz oraz opóźnienie lub wyprzedzenie napięcia wyjściowego w stosunku do napięcia wejściowego. Mimo dużych zalet pokazany wykres nadal posiada wadę. Jest on prawdziwy dla jednej częstotliwości sygnału. A co jeśli chcemy poznać zachowanie się transformatora i wzmacniacza dla wszystkich częstotliwości. Potrzebne jest dalsze udoskonalenie modelu. Jest ono pokazane na Rys.4.5.


Rys.4.5 Rozkład wektora na składową rzeczywistą i urojoną

Wektor T został wpisany w prostokąt w postaci jego przekątnej. Dwa boki prostokąta oznaczono strzałkami na osi rzeczywistej (Re) i urojonej (Im). Wykorzystując tę "konstrukcję" możemy na podstawie strzałki rzeczywistej Re(T) i urojonej Im(T) znaleźć przekątną T. Możemy również znaleźć kąt pomiędzy przekątną i dodatnią półosią rzeczywistą. Stąd, jeśli znamy składowe rzeczywiste i urojone, zawsze możemy określić wartość wzmocnienia (przekątną) i wartość fazy (kąt).

   Powyższe objaśnienie oczywiście nie zasługuje na jakąkolwiek nagrodę za matematyczny opis jak funkcjonuje dziedzina liczb zespolonych. Tym nie mniej dzięki niemu staje się oczywiste, że każdy zestaw składający się z wartości wzmocnienia (długość wektora) i opóźnienia czasowego (kąt wektora) może być przekształcony na część rzeczywistą i urojoną. Znając z kolei wartości części rzeczywistej i urojonej możemy określić kąt fazowy.

4.2 Składniki rzeczywiste i urojone dla różnych częstotliwości

   Na rys.4.6 pokazany jest wykres dla transformatora VDV1080 zawierający trzy charakterystyki.


Rys.4.6 Odpowiedź częstotliwościowa transformatora VDV1080 w dziedzinie zespolonej

Najwyższa charakterystyka (krzywa oznaczona jako T) pokazuje wzmocnienie (długość wektora) w całym zakresie częstotliwości. Łatwo można zobaczyć, że ta charakterystyka zaczyna opadać dla częstotliwości powyżej 100kHz. To oznacza malenie odpowiedzi transformatora, o czym już wiemy.

   Krzywa przebiegająca bezpośrednio pod T (oznaczona jako R) pokazuje część rzeczywistą wektora, czyli długość poziomej strzałki w prostokącie zbudowanym na płaszczyźnie zespolonej. W zakresie wysokich częstotliwości ta krzywa zaczyna opadać wcześniej od krzywej T.

   Trzecia krzywa, oznaczona jako I pokazuje składową urojoną. Przyjmuje ona wartości ujemne z wartością minimalną w okolicy 120kHz.

   Co takie zachowanie oznacza i czym jest spowodowane? Wyjaśnienie dla składowej rzeczywistej jest proste. W dominującej części zakresu częstotliwości funkcja przenoszenia napięcia T transformatora jest praktycznie stała i opóźnienie czasowe w tym zakresie jest równe zeru. Krzywa R jest więc linią prostą w tej części zakresu częstotliwości. Dla wysokich częstotliwości, powyżej 100kHz, T maleje i w związku z tym maleje również R.

   Przejdźmy do części urojonej. Powyżej 20kHz składowa urojona zaczyna rosnąć - w sensie ujemnym. Jest to powodowane indukcyjnością Lsp transformatora. Ta "dokuczliwa mała ekstra cewka" zaczyna wprowadzać opóźnienie prądu płynącego przez transformator. Robi to aż do wartości maksymalnej (w sensie ujemnym) części urojonej charakterystyki przy częstotliwości około 120kHz. Dla tej częstotliwości pojemność Cip zaczyna kompensować opóźnienie powodowane przez Lsp w taki sposób, że dla wyższych częstotliwości składowa urojona powraca do wartości zerowej. Na wykresach podobnych do tych pokazanych na Rys.4.6 widać wyraźnie wpływ Cip i Lsp. Gdybyśmy dysponowali wyłącznie charakterystyką T, wówczas nigdy takiego wpływu byśmy nie mogli przeanalizować.

4.3 Kąt fazowy

   Bardzo dobrą metodą umożliwiającą analizę występujących opóźnień czasowych jest obserwacja charakterystyki fazowej. Przez kąt fazowy rozumiemy kąt pomiędzy wektorem wzmocnienia T i  i dodatnią półosią rzeczywistą. Dla każdej wartości częstotliwości możemy narysować prostokąt stosując wspomniane składowe: rzeczywistą i urojoną. Na podstawie tych składowych możemy określić kąt pomiędzy wektorem T reprezentującym wzmocnienie a półosią rzeczywistą. Wartość tego kąta (Q) w funkcji częstotliwości czyli charakterystyka fazowa jest zamieszczana na środkowym wykresie w specyfikacji transformatorów.


Rys.4.7 Charakterystyka fazowa transformatora VDV1080

Możemy zobaczyć, że dla częstotliwości 20kHz opóźnienie jest bardzo małe i osiąga znaczne wartości dopiero dla dużo większych częstotliwości. Na wykresie widać również dodatnie opóźnienie fazowe dla bardzo niskich częstotliwości. Dodatni kąt fazowy oznacza, że sygnał wyjściowy wyprzedza sygnał wejściowy. Trudno to sobie wyobrazić i taka sytuacja z fizycznego punktu widzenia nie jest możliwa. Jest to po prostu matematyczny sposób opisu zachowania się transformatora w zakresie niskich częstotliwości i najlepiej na razie go po prostu zaakceptować.

4.4 Różnicowe zniekształcenie fazowe

   Mimo, że przedstawiliśmy wiele informacji dotyczących transformatorów głośnikowych, niektórzy mogą stwierdzić, że wykresy fazowe tak naprawdę nic nie mówią na temat jakości transformatora. Według tych "niektórych" nie jest ważna wiedza, że w transformatorze następuje zmiana kąta fazowego. To co jest ważniejsze to jest kształt charakterystyki fazowej. Czy zmienia się ona gwałtownie i zawiera nieregularności, czy też zmienia się łagodnie i jest gładka.

   Dlaczego to jest takie ważne? Otóż dlatego, że kształt charakterystyki fazowej pokazuje jak poszczególne składowe częstotliwościowe są opóźniane wzajemnie względem siebie. Ta właściwość zasługuje na bardziej szczegółowe wyjaśnienie.

   Przesunięcia fazowe są powodowane przez opóźnienia czasowe w transformatorze. Opóźnienie czasowe może być stałe w całym zakresie częstotliwości i taka sytuacja nie jest dla nas interesująca. Dlaczego? Spróbujcie odsunąć nieco głowę od głośników. Nic się nie stanie - dźwięk pozostanie równie dobry jak był. Przesunięcie się dalej od głośników jest niczym innym jak wprowadzeniem niewielkiego opóźnienia czasowego, które w trym przypadku jest takie same (stałe) dla wszystkich częstotliwości. Stałe opóźnienie czasowe nie interesuje nas, gdyż nie powoduje żadnych problemów. Jego wynikiem jest przesunięcie fazowe zmieniające się liniowo w funkcji częstotliwości (to uwaga dla tych którzy interesują się matematyką). Podsumowując, możemy bezpiecznie stwierdzić, że ten typ przesunięcia fazy jest nieważny bo reprezentuje stałe opóźnienie czasowe.

   Gdy analizujemy charakterystykę fazową i obserwujemy zmiany przesunięcia fazowego to chcielibyśmy wiedzieć czy przesunięcie fazy jest związane ze stałym, niezależnym od częstotliwości opóźnieniem czasowym, czy też opóźnieniem czasowym zależnym od częstotliwości. W tym drugim przypadku wystąpi zacieranie się informacji muzycznej ponieważ wyższe częstotliwości będą opóźniane bardziej niż niskie i vice versa. Spojrzenie "na szybko" na charakterystykę fazową nie pozwala na czytelne wskazanie, czy opóźnienie czasowe jest zależne od częstotliwości czy też nie.

   Wiele osób weszło głębiej w to zagadnienie i w literaturze można znaleźć teoretyczne dyskusje na temat wielkości, która wskazywałaby bezpośrednio na przesunięcia fazy powodowane przez opóźnienia czasowe zależne od częstotliwości. Taką wielkością jest różnicowe zniekształcenie fazowe.

   Na Rys.4.8 pokazane jest obliczone różnicowe zniekształcenie fazowe w funkcji częstotliwości dla transformatora VDV1080.


Rys.4.8 Różnicowe zniekształcenie fazowe dla transformatora VDV1080 współpracującego z ośmioma lampami KT88 pracującymi w trybie ultraliniowym

Co widzimy na wykresie? Faza różnicowa jest równa zeru dla częstotliwości znacznie przekraczających pasmo słyszenia. Oznacza to, że wszystkie częstotliwości są tak samo opóźniane, a więc nie jesteśmy w stanie tego zjawiska usłyszeć. Faza różnicowa różni się znacznie od wartości zerowej dla częstotliwości powyżej 100kHz. W tym zakresie wysokie częstotliwości są opóźniane bardziej od częstotliwości średnich i niskich. Ponieważ dzieje się to poza pasmem słyszenia transformator nie degraduje przenoszonego sygnału.

4.5 Ograniczenia analizy zespolonej

   Wszyscy ci, którym udało się przebrnąć przez dotychczasowe rozdziały mogą odnieść wrażenie, że transformatory toroidalne to swego rodzaju manna z nieba. I taka była intencja - jest w tym nieco autoreklamy. Niestety uczciwość zmusza nas do dodania małej uwagi do przedstawionego omówienia. Wszystkie obliczenia dotyczące charakterystyk fazowych i fazy różnicowej oparte były na idealnych założeniach, w ramach których połączenie transformatora i wzmacniacza jest optymalne. Jeśli zastosujemy inną metodę podłączenia (np. lampy pracujące w trybie pentodowym) faza różnicowa zacznie się odchylać od zera już dla mniejszych wartości częstotliwości. Podstawowym celem projektowania transformatorów głośnikowych jest zapewnienie aby te odchylenia występowały dla częstotliwości powyżej 20kHz i we wspomnianych transformatorach to wymaganie jest spełnione. Nadal jednak najlepsze wyniki są uzyskiwane, gdy lampy końcowe pracują w konfiguracji triodowej lub ultraliniowej. To wyjaśnia dlaczego wzmacniacze testowe zbudowane z zastosowaniem transformatorów serii VDV posiadają najlepsze właściwości w odtwarzaniu transientów, gdy są skonfigurowane w trybie triodowym. W takiej konfiguracji nie wprowadzają żadnych błędów w zakresie częstotliwości słyszalnych lub w dziedzinie czasu. Podobnie w konfiguracji ultraliniowej przy dobraniu właściwych warunków współpracy transformatora z lampami możliwe jest uzyskanie bezbłędnych parametrów oceny dźwięku. Dopiero w konfiguracji pentodowej mogą pojawić się błędy w zakresie górnych częstotliwości akustycznych spowodowane tym, że faza różnicowa zaczyna przyjmować niezerowe wartości.

4.6 Podsumowanie i wnioski

   Zachowanie się transformatora głośnikowego w dziedzinie zespolonej jest złożone i wymaga skomplikowanych obliczeń. Wnioski zebrane z analizy w dziedzinie zespolonej pokazują, że z zasady sygnał wyjściowy jest opóźniony w stosunku do sygnału wejściowego. Reprezentuje to ujemny kąt fazowy, który rośnie (w sensie ujemnym) wraz ze wzrostem częstotliwości. Dodatkowym ważnym parametrem jest faza różnicowa, która wskazuje na względne opóźnienia czasowe dla różnych składowych częstotliwościowych sygnału. Faza różnicowa jest powiązana z jakością odpowiedzi transientowej. Aby uzyskać jak najlepsze parametry jakościowe, lampy końcowe powinny pracować w konfiguracji triodowej lub ultraliniowej.